金融の世界では、「連続複利」という言葉が存在します。
これは、一定期間の中で受け取る金利を分割した時に乗る利回りのことです。

例えば、1年間の間に金利が100%つまり100万円を投資したら年に1回の利息で1年後に200万円に増える凄い利回りの銀行があるとしましょう。
では、この金利を50%に下げる代わりに、利息を年に2回貰える銀行があるとします。
1年後にはいくらに増えると思いますか?

答えは、
100万円*1.5*1.5→225万円となるのです。
年に1回の利息を受け取るよりも25万も多くなりますね。

つまり、1年間に12回、1年間に365回と、小分けに利息を受け取った方が資産は伸びが良いのです。

ところで、100万円が225万円に増えると、2.25倍ですよね?
この倍率が上がっていく考え方は、人生において役に立ちます。

試しに、年間の利息を4回受け取れる代わりに1回の金利は25%にまで下げてみましょう。
100万円*1.25*1.25*1.25*1.25→244万円(2.44倍)

では、この利息の回数を1年に365回にして、金利を0.274%(100%/365日)にしてみます。(365回も同じ掛け算を追加するのはきついので、こういう時は指数と関数電卓を使って楽をしましょう)
100万円*1.00274^365→約271.48万円(2.7148倍)

このように、利息の感覚を1時間、1秒、0.1秒とどこまでも金利が乗ってくる間隔を狭くすることができるのですが、2.72倍を超えることは出来ないのです。
この倍率は、2.71828182846…と延々と続く倍率になります。
数学や科学の世界では、e = 2.718…といった書き方をしたり、自然対数と呼んだりします。
高校数学を勉強したことがある方は見覚えがあるかもしれませんが、この延々と続く数字を「ネイピア数」または「自然対数」と呼ぶのです。
借金は、基本的に利息が毎日重なってくるので、一見すると年間10%程度の借金に見えても実際はもっと払ってしまう事になるのです。
だからこそ、借金は雪だるま式とか言われるのです。

さて、本題に戻り、連続複利のリターンを求める計算式は以下になります。

$$r_t(k)≡log_e(1+R_t(k))$$

当然ながら、これだけでは何のことか分からない人の方が多数派になると思います。

まずは、式の読み方をざっくりと伝えます。
rtの部分は、連続複利のリターンです。最終的には%に変換できる少数が算出されます。
kは、金利の回数です。1年に2回の金利が乗れば2ですし、1年に12回の金利が乗れば12です。
logは、右下の小さい数字を何乗したら、logの右側の数字になるかという意味です。今回の場合は、eが右下に書いてあるので、2.71…を何乗したら、1+Rt(k)つまりグロスの単純リターンになるという意味になります。
ちなみに、logの右下に数字が何も入っていなければ、eつまり2.71…が隠れて入っています。

イメージをしやすくするため、実際の数字に置き換えていきましょう。
以下の条件を作ります。
なお、金利が常に変動をすると仮定しましょう。
[条件]
ある闇金で借金をした時に、以下の利息がついたとします。
0日目の負債 10000円
1日目の負債 11000円 (11000円/10000円→1.1倍の増加)
2日目の負債 12100円 (1.1倍の増加)
3日目の負債 13310円 (1.1倍の増加)
4日目の負債 14641円 (1.1倍の増加)
5日目の負債 16105円 (1.1倍の増加)
6日目の負債 17715円 (1.1倍の増加)

連続複利のリターン(リターンというより負債ですけど)=log(1.1*1.1*1.1*1.1*1.1*1.1)
(Google Spread SheetだとLN関数で簡単に算出出来ます。書き方は、”=LEN(1.1*1.1*1.1*1.1*1.1*1.1)”です)

複利のリターン= 約0.572
つまり、リターンは57.2%となります。